実数 $a$ に対して、広義積分 $I(a) = \int_0^\infty \frac{3x\sin(2x) + 8e^{-x^2} + 2x^2}{x^a}dx$ の収束性を$a$の値に応じて判定する問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、広義積分

$I(a) = \int_0^\infty \frac{3x\sin(2x) + 8e^{-x^2} + 2x^2}{x^a}dx$

の収束性を$a$の値に応じて判定する問題です。

2. 解き方の手順

広義積分なので、$x=0$付近と$x=\infty$付近での挙動を調べる必要があります。

(i) $x=0$付近での収束性

被積分関数を$f(x)$とすると、

$f(x) = \frac{3x\sin(2x) + 8e^{-x^2} + 2x^2}{x^a}$

$x \to 0$のとき、$\sin(2x) \sim 2x$，$e^{-x^2} \sim 1$なので、

$3x\sin(2x) \sim 6x^2$，$8e^{-x^2} \sim 8$。よって、

$f(x) \sim \frac{8}{x^a}$ (x→0のとき)

$\int_0^1 \frac{1}{x^a} dx$が収束するためには、$a < 1$が必要です。

(ii) $x=\infty$付近での収束性

$x \to \infty$のとき、$3x\sin(2x)$は振動し、$8e^{-x^2} \to 0$なので、

$f(x) \sim \frac{3x\sin(2x) + 2x^2}{x^a} = \frac{3\sin(2x)}{x^{a-1}} + \frac{2}{x^{a-2}}$ (x→∞のとき)

$\int_1^\infty \frac{1}{x^{a-2}}dx$が収束するためには、$a-2 > 1$、つまり、$a > 3$が必要です。

$\int_1^\infty \frac{\sin(2x)}{x^{a-1}} dx$が収束するためには、$a-1 > 0$、つまり、$a>1$が必要です。これは$a>3$の条件に含まれています。

部分積分を使うことを考えます。

$F(x) = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

$\int_1^\infty \frac{\sin(2x)}{x^{a-1}} dx = \left[ -\frac{1}{2} \frac{\cos(2x)}{x^{a-1}} \right]_1^\infty - \int_1^\infty \frac{a-1}{2} \frac{\cos(2x)}{x^{a}} dx$

$x \to \infty$で$\frac{\cos(2x)}{x^{a-1}} \to 0$となるには、$a-1>0$すなわち$a>1$が必要です。

$\int_1^\infty \frac{\cos(2x)}{x^a} dx$が収束するには、$a>0$であればよい。

つまり、$a>1$であれば$\int_1^\infty \frac{\sin(2x)}{x^{a-1}} dx$は収束します。

(i), (ii)より、$1 < a < 3$ のとき、広義積分は収束しません。

$f(x) = \frac{3x\sin(2x) + 8e^{-x^2} + 2x^2}{x^a}$のとき、

$I(a)$が収束するためには、$a<1$かつ$a>3$が必要ですが、そのような$a$は存在しません。

しかし、$I(a)$は、$x \to 0$で積分が収束するためには$a < 1$、$x \to \infty$で積分が収束するためには、$a > 3$が必要です。

これは、$a < 1$と$a>3$を同時に満たす$a$が存在しないため、すべての$a$に対して発散すると考えられます。

3. 最終的な答え

すべての$a$に対して、$I(a)$は収束しない。

$a<1$ならば、$x=0$付近で発散する。

$a>3$ならば、$x=\infty$付近で発散する。

$1 \le a \le 3$ならば、$x=0$付近または$x=\infty$付近で発散する。

したがって、$I(a)$はすべての$a$に対して定義できない。