底面の直径が20cm、高さが40cmの円錐に毎秒2cm³の割合で水を注ぐとき、水の高さ$h$が上昇する速度$\frac{dh}{dt}$を$h$の式で表す。

1. 問題の内容

底面の直径が20cm、高さが40cmの円錐に毎秒2cm³の割合で水を注ぐとき、水の高さ$h$が上昇する速度$\frac{dh}{dt}$を$h$の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、水が注がれた部分の円錐の体積$V$を求めます。全体の円錐と水が入った円錐は相似であるため、相似比を利用して水面の半径を$h$で表します。

全体の円錐の半径は$20/2 = 10$cm、高さは40cmです。水が入った円錐の半径を$r$、高さを$h$とすると、相似比より

$\frac{r}{10} = \frac{h}{40}$

$r = \frac{10h}{40} = \frac{h}{4}$

したがって、水が入った円錐の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{4})^2 h = \frac{\pi h^3}{48}$

次に、$V$を時間$t$で微分します。$\frac{dV}{dt} = 2$ (cm³/s)なので、

$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{\pi h^3}{48}) = \frac{\pi}{48} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{16} \frac{dh}{dt}$

$\frac{dV}{dt} = 2$を代入して、$\frac{dh}{dt}$について解きます。

$2 = \frac{\pi h^2}{16} \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{32}{\pi h^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dh}{dt} = \frac{32}{\pi h^2}$