問題は2つあります。 (1) $f(x) = \cos x$ のマクローリン展開を4次導関数まで求めて近似すること。 (2) $f(x) = \tan x$ のマクローリン展開を3次までの近似で求めること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $f(x) = \cos x$ のマクローリン展開を4次導関数まで求めて近似すること。

(2) $f(x) = \tan x$ のマクローリン展開を3次までの近似で求めること。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \cos x$ のマクローリン展開

まず、$f(x)$ の導関数を4次まで求めます。

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

次に、各導関数に $x = 0$ を代入します。

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(4)}(0) = \cos 0 = 1$

マクローリン展開の公式は以下の通りです。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4$

求めた値を代入します。

$f(x) \approx 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4$

$f(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4$

(2) $f(x) = \tan x$ のマクローリン展開

まず、$f(x)$ の導関数を3次まで求めます。

$f(x) = \tan x$

$f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$

$f''(x) = 2\tan x \sec^2 x = 2\tan x (1 + \tan^2 x) = 2\tan x + 2\tan^3 x$

$f'''(x) = 2\sec^2 x + 6\tan^2 x \sec^2 x = 2(1 + \tan^2 x) + 6\tan^2 x(1 + \tan^2 x) = 2 + 8\tan^2 x + 6\tan^4 x$

次に、各導関数に $x = 0$ を代入します。

$f(0) = \tan 0 = 0$

$f'(0) = 1 + \tan^2 0 = 1$

$f''(0) = 2\tan 0 + 2\tan^3 0 = 0$

$f'''(0) = 2 + 8\tan^2 0 + 6\tan^4 0 = 2$

マクローリン展開の公式は以下の通りです。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$

求めた値を代入します。

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3$

$f(x) \approx x + \frac{1}{3}x^3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \cos x$ のマクローリン展開（4次まで）

$f(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4$

(2) $f(x) = \tan x$ のマクローリン展開（3次まで）

$f(x) \approx x + \frac{1}{3}x^3$