関数 $y = x^x$ （ただし $x>0$） を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^x$ （ただし $x>0$） を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は $x$ の $x$ 乗の形をしているので、両辺の対数を取ってから微分する。

1. 両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分を用いる。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x)$

右辺は積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$\frac{d}{dx}(x \ln x) = (1)(\ln x) + (x)(\frac{1}{x}) = \ln x + 1$

よって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$

4. $y = x^x$ を代入する。

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$