$\int \frac{1}{x^2} dx$ を計算する。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{x^2}$ は $x^{-2}$ と書き換えられる。

したがって、積分は $\int x^{-2} dx$ となる。

べき乗の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いる。

ここで、$n = -2$ なので、$n+1 = -1$ である。

したがって、積分は $\frac{x^{-1}}{-1} + C$ となる。

これを整理すると、$-\frac{1}{x} + C$ となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x} + C$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

$\int (e^{2x+1} + x\sqrt{x}) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

積分を分割する。

$\int e^{2x+1} dx + \int x\sqrt{x} dx$

まず、$\int e^{2x+1} dx$ を計算する。

$u = 2x+1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2$ より、$dx = \frac{du}{2}$

$\int e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C$

次に、$\int x\sqrt{x} dx$ を計算する。

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$

したがって、$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C$

したがって、$\int (e^{2x+1} + x\sqrt{x}) dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + \frac{2}{5} x^{5/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^{2x+1} + \frac{2}{5}x^{5/2} + C$

## 問題1 (3)

1. 問題の内容

$\int (3x+4)^3 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$u = 3x+4$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 3$ より、$dx = \frac{du}{3}$

$\int u^3 \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^3 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{12} u^4 + C = \frac{1}{12} (3x+4)^4 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12}(3x+4)^4 + C$

## 問題1 (4)

1. 問題の内容

$\int 3x^2 \cos(x^3+2) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$u = x^3+2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ より、$dx = \frac{du}{3x^2}$

$\int 3x^2 \cos(u) \frac{du}{3x^2} = \int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x^3+2) + C$

3. 最終的な答え

$\sin(x^3+2) + C$

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x \sin x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$u = \cos x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = -\sin x$ より、$-\sin x dx = du$

積分範囲の変化:

$x = 0$ のとき、$u = \cos 0 = 1$

$x = \pi/2$ のとき、$u = \cos (\pi/2) = 0$

$\int_{1}^{0} u^2 (-du) = -\int_{1}^{0} u^2 du = \int_{0}^{1} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

$\int_{1}^{2} \frac{\log x}{x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$u = \log x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より、$dx = x du$

積分範囲の変化:

$x = 1$ のとき、$u = \log 1 = 0$

$x = 2$ のとき、$u = \log 2$

$\int_{0}^{\log 2} \frac{u}{x} x du = \int_{0}^{\log 2} u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{\log 2} = \frac{(\log 2)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{(\log 2)^2}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{(\log 2)^2}{2}$