与えられた積分 $\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx$ を計算します。ここで、$t = e^x + 2$ という変数変換が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx$ を計算します。ここで、$t = e^x + 2$ という変数変換が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$t = e^x + 2$ と置換します。このとき、$dt = e^x dx$ となります。したがって、与えられた積分は、

$\int \frac{1}{t^3} dt$

と書き換えることができます。

次に、この積分を計算します。これは、$t^{-3}$ の積分なので、

$\int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2t^2} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、$t = e^x + 2$ を代入して、$x$ の関数に戻します。

$-\frac{1}{2(e^x + 2)^2} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2(e^x + 2)^2} + C$