$z = y^x$ について、以下の偏導関数を求める問題です。 1. $z_x$, $z_y$ を計算する。

1. 問題の内容

$z = y^x$ について、以下の偏導関数を求める問題です。

1. $z_x$, $z_y$ を計算する。

2. 2階偏導関数（$z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yx}$, $z_{yy}$）を計算する。

2. 解き方の手順

1. $z_x$ と $z_y$ を計算します。

$z = y^x$ を $x$ で偏微分すると、

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = y^x \log y$

$z = y^x$ を $y$ で偏微分すると、

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = x y^{x-1}$

2. 2階偏導関数を計算します。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (y^x \log y) = y^x (\log y)^2$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^x \log y) = \frac{\partial}{\partial y} (y^x) \log y + y^x \frac{\partial}{\partial y} (\log y) = xy^{x-1} \log y + y^x \frac{1}{y} = xy^{x-1} \log y + y^{x-1}$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x y^{x-1}) = \frac{\partial}{\partial x} (x) y^{x-1} + x \frac{\partial}{\partial x} (y^{x-1}) = y^{x-1} + x y^{x-1} \log y$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (xy^{x-1}) = x(x-1)y^{x-2}$

3. 最終的な答え

1. $z_x = y^x \log y$

$z_y = x y^{x-1}$

2. $z_{xx} = y^x (\log y)^2$

$z_{xy} = x y^{x-1} \log y + y^{x-1} = y^{x-1}(x \log y + 1)$

$z_{yx} = y^{x-1} + x y^{x-1} \log y = y^{x-1}(1 + x \log y)$

$z_{yy} = x(x-1)y^{x-2}$