容積が2000 m$^3$の蓋つきの直円柱形の水槽を、最も少ない材料で作るには、円柱の半径 $x$ を何 m にすればよいか。

1. 問題の内容

容積が2000 m$^3$の蓋つきの直円柱形の水槽を、最も少ない材料で作るには、円柱の半径 $x$ を何 m にすればよいか。

2. 解き方の手順

まず、直円柱の容積 $V$ と表面積 $S$ を半径 $x$ と高さ $h$ を用いて表します。

容積 $V$ は、

$V = \pi x^2 h$

と表されます。 問題文より $V = 2000$ であるので、

$\pi x^2 h = 2000$

したがって、

$h = \frac{2000}{\pi x^2}$

となります。

次に、表面積 $S$ を求めます。 表面積は、側面積 $2\pi x h$ と、底面積 $\pi x^2$ が2つ分を足したものです。したがって、

$S = 2\pi x h + 2\pi x^2$

$h = \frac{2000}{\pi x^2}$ を代入すると、

$S = 2\pi x \cdot \frac{2000}{\pi x^2} + 2\pi x^2 = \frac{4000}{x} + 2\pi x^2$

表面積 $S$ を最小にする $x$ を求めるために、$S$ を $x$ で微分し、$S' = 0$ となる $x$ を求めます。

$S' = -\frac{4000}{x^2} + 4\pi x$

$S' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{4000}{x^2} + 4\pi x = 0$

$4\pi x = \frac{4000}{x^2}$

$x^3 = \frac{1000}{\pi}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$

$x = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$ のとき、$S$ が最小値を取ることを確認します。

$S'' = \frac{8000}{x^3} + 4\pi$

$S''$ は常に正なので、$x = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$ で $S$ は最小値を取ります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$ m