関数 $f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x+2y)$ をマクローリン展開します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x+2y)$ をマクローリン展開します。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、多変数関数のテイラー展開において、展開の中心を原点（(0,0)）としたものです。つまり、関数 $f(x, y)$ を $(x, y) = (0, 0)$ のまわりでテイラー展開します。

$f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)y + \frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0)x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0)y^2\right) + \cdots$

ここで、$f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x+2y)$ なので、

$f(0, 0) = 4(0^2 + 0^2) \cos^3(0+2\cdot 0) = 0$

次に、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4(2x \cos^3(x+2y) + (x^2+y^2)3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y)))$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4(2y \cos^3(x+2y) + (x^2+y^2)3\cos^2(x+2y)(-2\sin(x+2y)))$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 4(0 \cos^3(0) + (0+0)3\cos^2(0)(-\sin(0))) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 4(0 \cos^3(0) + (0+0)3\cos^2(0)(-2\sin(0))) = 0$

次に、2階偏微分を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4(2\cos^3(x+2y) - 6x\cos^2(x+2y)\sin(x+2y) - 6x\cos^2(x+2y)\sin(x+2y) -3(x^2+y^2)\cos(x+2y)\sin(x+2y) -3(x^2+y^2) \cos(x+2y) \sin(x+2y)+3(x^2+y^2) \cos^2(x+2y) )$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4(2\cos^3(x+2y) - 12y\cos^2(x+2y)\sin(x+2y) - 12y\cos^2(x+2y)\sin(x+2y) -12(x^2+y^2)\cos(x+2y)\sin(x+2y) -12(x^2+y^2) \cos(x+2y) \sin(x+2y)+12(x^2+y^2) \cos^2(x+2y) )$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4(-6y\cos^2(x+2y)\sin(x+2y)-3y\cos^2(x+2y)\sin(x+2y)-3(x^2+y^2)\cos^2(x+2y)\sin(x+2y)-6(x^2+y^2)cos(x+2y)(-sin(x+2y))-3(x^2+y^2))$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = 4(2\cos^3(0) + 0) = 8$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = 4(2\cos^3(0) + 0) = 8$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 0$

したがって、マクローリン展開の2次の項まで考えると、

$f(x, y) \approx 0 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(8x^2 + 0xy + 8y^2) = 4(x^2 + y^2)$

3. 最終的な答え

$f(x,y) \approx 4(x^2+y^2)$