関数 $f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x + 2y)$ をマクローリン展開する。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x + 2y)$ をマクローリン展開する。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、多変数関数のテイラー展開を原点周りで行ったものである。

つまり、$x = 0$ かつ $y = 0$ の周りでテイラー展開を行う。

$f(x, y)$ のマクローリン展開は、次のように表される。

$f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)y + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0)x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0)y^2 \right) + \cdots$

まず、$f(0, 0)$ を計算する。

$f(0, 0) = 4(0^2 + 0^2) \cos^3(0 + 2\cdot 0) = 4(0) \cos^3(0) = 0$

次に、一階偏導関数を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 \left[ 2x \cos^3(x + 2y) + (x^2 + y^2) \cdot 3 \cos^2(x + 2y) (-\sin(x + 2y)) \right]$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 \left[ 2y \cos^3(x + 2y) + (x^2 + y^2) \cdot 3 \cos^2(x + 2y) (-\sin(x + 2y)) \cdot 2 \right]$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 4 \left[ 2(0) \cos^3(0) + (0^2 + 0^2) \cdot 3 \cos^2(0) (-\sin(0)) \right] = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 4 \left[ 2(0) \cos^3(0) + (0^2 + 0^2) \cdot 3 \cos^2(0) (-\sin(0)) \cdot 2 \right] = 0$

次に、二階偏導関数を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4 \left[ 2 \cos^3(x + 2y) - 6x \cos^2(x+2y)\sin(x+2y) + 2x (3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y))) - 3 (2x\cos(x+2y)(-\sin(x+2y)) (x^2+y^2)\sin(x+2y) +(x^2+y^2)\cos^2(x+2y)(-\cos(x+2y)) \right]$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4 \left[ -6 x y \cos^2(x + 2y) - 2y (3 \cos^2(x + 2y)(-\sin(x + 2y))) -3*2(x^2+y^2)\cos(x+2y)\sin(x+2y) (-\sin(x+2y)) + (x^2+y^2) \cos^2(x+2y)*(-\cos(x+2y))*2 \right]$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4 \left[ 2 \cos^3(x+2y) -12y \cos^2(x+2y) \sin(x+2y)- 6 (2y \cos(x+2y)(-\sin(x+2y)) (x^2+y^2)\sin(x+2y) +(x^2+y^2)\cos^2(x+2y)(-\cos(x+2y))*4 \right]$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = 4 \left[ 2 \cos^3(0) \right] = 4(2 \cdot 1) = 8$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = 4 \left[ 2 \cos^3(0) \right] = 4(2 \cdot 1) = 8$

したがって、

$f(x, y) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot y + \frac{1}{2} (8x^2 + 2 \cdot 0 \cdot xy + 8y^2) + \cdots$

$f(x, y) = 4x^2 + 4y^2 + \cdots$

3. 最終的な答え

$f(x, y) \approx 4x^2 + 4y^2$