与えられた積分 $\int \frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} dx$ を計算し、その結果が与えられた式に等しいことを確認する問題です。与えられた式は $\frac{1}{a^2 + b^2} \left( \frac{b}{2} \log ( \frac{(a+b)^2}{1+t^2}) + a \arctan t \right) = \frac{1}{a^2 + b^2} \left( b \log |a \cos x + b \sin x| + ax \right)$ という形で与えられています。ただし、$t$が具体的に何であるかは不明です。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} dx$

を計算し、その結果が与えられた式に等しいことを確認する問題です。与えられた式は

$\frac{1}{a^2 + b^2} \left( \frac{b}{2} \log ( \frac{(a+b)^2}{1+t^2}) + a \arctan t \right) = \frac{1}{a^2 + b^2} \left( b \log |a \cos x + b \sin x| + ax \right)$

という形で与えられています。ただし、$t$が具体的に何であるかは不明です。

2. 解き方の手順

積分を直接計算します。まず、被積分関数を次のように分解します。

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = A \frac{d}{dx} (a \cos x + b \sin x) + B (a \cos x + b \sin x)$

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = A (-a \sin x + b \cos x) + B (a \cos x + b \sin x)$

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = (Ab + Ba) \cos x + (-Aa + Bb) \sin x$

係数を比較すると、

$Ab + Ba = 1$

$-Aa + Bb = 0$

これを解くと、

$bA = aA$ から　$A = \frac{b}{a^2+b^2}$

$B = \frac{a}{a^2+b^2}$

したがって、

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = \frac{b}{a^2+b^2} (-a \sin x + b \cos x) + \frac{a}{a^2+b^2} (a \cos x + b \sin x)$

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = \frac{1}{a^2+b^2}( -ab \sin x + b^2 \cos x + a^2 \cos x + ab \sin x)$

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} \cos x = \cos x$

これは正しくありません。分解の仕方が間違っています。

$\frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} = A + \frac{B (a \cos x + b \sin x)' }{a \cos x + b \sin x}=A + \frac{B(-a\sin x + b \cos x)}{a \cos x + b \sin x}$

ここで

$\cos x = A(a\cos x + b\sin x) + B(-a\sin x + b\cos x)$

$\cos x = (Aa + Bb) \cos x + (Ab - Ba) \sin x$

したがって

$Aa + Bb = 1$

$Ab - Ba = 0$

$A = \frac{a}{a^2 + b^2}$, $B = \frac{b}{a^2 + b^2}$

よって

$\int \frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} dx = \int (\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2}\frac{-a \sin x + b \cos x}{a \cos x + b \sin x}) dx$

$= \frac{ax}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2} \int \frac{ (a \cos x + b \sin x)' }{a \cos x + b \sin x} dx$

$= \frac{ax}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2} \log |a \cos x + b \sin x| + C$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int \frac{\cos x}{a \cos x + b \sin x} dx = \frac{ax}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2} \log |a \cos x + b \sin x| + C$

与えられた答えと比較すると、

$\frac{1}{a^2 + b^2} (b \log |a \cos x + b \sin x| + ax)$

これは積分定数を除いて一致します。