与えられた積分を計算します。問題は以下の通りです。 $\int \frac{x}{e^{x^2 - 1}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。問題は以下の通りです。

$\int \frac{x}{e^{x^2 - 1}} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を使用します。

ステップ1: $u = x^2 - 1$ と置換します。

ステップ2: $u$ を $x$ で微分すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

ステップ3: $dx$ について解くと、$dx = \frac{du}{2x}$ となります。

ステップ4: 元の積分に $u$ と $dx$ を代入します。

$\int \frac{x}{e^{x^2 - 1}} dx = \int \frac{x}{e^u} \frac{du}{2x}$

ステップ5: $x$ が約分され、定数 $\frac{1}{2}$ が積分の外に出ます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{e^u} du = \frac{1}{2} \int e^{-u} du$

ステップ6: $e^{-u}$ の積分は $-e^{-u}$ です。

$\frac{1}{2} \int e^{-u} du = \frac{1}{2} (-e^{-u}) + C = -\frac{1}{2} e^{-u} + C$

ステップ7: $u$ を $x^2 - 1$ に戻します。

$-\frac{1}{2} e^{-(x^2 - 1)} + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2 + 1} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$-\frac{1}{2}e^{-x^2+1} + C$

または

$-\frac{1}{2}e^{1-x^2} + C$

です。