与えられた積分 $\int \frac{x^2}{x^3 - 2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2}{x^3 - 2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使用します。

$u = x^3 - 2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ となります。

したがって、$du = 3x^2 dx$ となり、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となります。

これで積分は次のようになります。

$\int \frac{x^2}{x^3 - 2} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$

したがって、

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C$

ここで、$u = x^3 - 2$ を代入すると、

$\frac{1}{3} \ln |x^3 - 2| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln |x^3 - 2| + C$