問題は、次の級数の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k$

1. 問題の内容

問題は、次の級数の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k$

2. 解き方の手順

この級数は等比数列の和です。等比数列の和の公式は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$

与えられた級数をこの形に変形します。

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k = \sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})(-\frac{1}{3})^{k-1}$

したがって、$a = -\frac{1}{3}$、$r = -\frac{1}{3}$ となります。

等比数列の和の公式に代入すると、次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k = (-\frac{1}{3})\frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{1-(-\frac{1}{3})}$

$= (-\frac{1}{3})\frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{1+\frac{1}{3}}$

$= (-\frac{1}{3})\frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{\frac{4}{3}}$

$= (-\frac{1}{3})(\frac{3}{4})(1-(-\frac{1}{3})^n)$

$= -\frac{1}{4}(1-(-\frac{1}{3})^n)$

$= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^n$

$= -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}$