与えられた積分 $\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}}dx$ を計算する。ヒントとして、$t = 1 - 3x$ の変数変換が与えられている。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}}dx$ を計算する。ヒントとして、$t = 1 - 3x$ の変数変換が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$t = 1 - 3x$ と置換する。このとき、$dt = -3dx$ となり、$dx = -\frac{1}{3} dt$ となる。また、$x = \frac{1-t}{3}$ となる。

したがって、積分は次のようになる。

$\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}}dx = \int \frac{3(\frac{1-t}{3})}{\sqrt{t}}(-\frac{1}{3})dt = -\frac{1}{3} \int \frac{1-t}{\sqrt{t}}dt$

これを整理すると、

$-\frac{1}{3} \int (t^{-\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}})dt$

それぞれの項を積分する。

$-\frac{1}{3} \left[ \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right] + C = -\frac{1}{3} \left[ 2\sqrt{t} - \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \right] + C$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{t} + \frac{2}{9} t^{\frac{3}{2}} + C$

ここで、$t = 1 - 3x$ を代入する。

$-\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{2}{9} (1-3x)^{\frac{3}{2}} + C$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x} + \frac{2}{9} (1-3x)\sqrt{1-3x} + C$

$= \sqrt{1-3x} \left( -\frac{2}{3} + \frac{2}{9}(1-3x) \right) + C$

$= \sqrt{1-3x} \left( -\frac{6}{9} + \frac{2}{9} - \frac{6}{9}x \right) + C$

$= \sqrt{1-3x} \left( -\frac{4}{9} - \frac{6}{9}x \right) + C$

$= -\frac{2}{9} \sqrt{1-3x}(2+3x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{9} \sqrt{1-3x}(3x+2) + C$