与えられた積分 $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$ を計算します。ここで、$t = 2x+3$ という変数変換を利用し、積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$ を計算します。ここで、$t = 2x+3$ という変数変換を利用し、積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、変数変換 $t = 2x + 3$ を行います。このとき、$x = \frac{t-3}{2}$ となり、$x+1 = \frac{t-3}{2} + 1 = \frac{t-1}{2}$ です。また、$dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

これらの関係式を元の積分に代入すると、

$\int (x+1)(2x+3)^2 dx = \int \left(\frac{t-1}{2}\right) t^2 \left(\frac{1}{2} dt\right) = \frac{1}{4} \int (t-1)t^2 dt$

となります。

次に、積分の中身を展開します。

$\frac{1}{4} \int (t^3 - t^2) dt$

この積分を計算します。

$\frac{1}{4} \left( \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} \right) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、$t = 2x+3$ を代入して、元の変数 $x$ で表します。

$\frac{1}{4} \left( \frac{(2x+3)^4}{4} - \frac{(2x+3)^3}{3} \right) + C$

$= \frac{(2x+3)^4}{16} - \frac{(2x+3)^3}{12} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{(2x+3)^4}{16} - \frac{(2x+3)^3}{12} + C$