関数 $f(x) = x \log x - x$ ($x > 1$) が与えられたとき、曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における法線が点 $(a, 0)$ を通るとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ を $t$ で表す。 (2) $a$ が $a > e$ を満たす定数であるとき、$t$ の値がただ一つ存在し、それが $t > e$ を満たすことを示す。 数列 $\{a_n\}$ を次の条件で定める。 (i) $a_1 = 3$ (ii) 点 $(a_{n+1}, f(a_{n+1}))$ における $C$ の法線が点 $(a_n, 0)$ を通る ($n = 1, 2, 3, \dots$)。 (3) すべての自然数 $n$ に対して、不等式 $|a_{n+1} - e| < \frac{1}{2} |a_n - e|$ が成り立つことを示す。 (4) 数列 $\{a_n\}$ は収束することを示し、その極限値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \log x - x$ ($x > 1$) が与えられたとき、曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における法線が点 $(a, 0)$ を通るとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ を $t$ で表す。

(2) $a$ が $a > e$ を満たす定数であるとき、$t$ の値がただ一つ存在し、それが $t > e$ を満たすことを示す。

数列 $\{a_n\}$ を次の条件で定める。

(i) $a_1 = 3$

(ii) 点 $(a_{n+1}, f(a_{n+1}))$ における $C$ の法線が点 $(a_n, 0)$ を通る ($n = 1, 2, 3, \dots$)。

(3) すべての自然数 $n$ に対して、不等式 $|a_{n+1} - e| < \frac{1}{2} |a_n - e|$ が成り立つことを示す。

(4) 数列 $\{a_n\}$ は収束することを示し、その極限値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x \log x - x$ より、$f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \log x$。

点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t) = \log t$ である。

したがって、法線の傾きは $-\frac{1}{\log t}$ である。

点 $(t, f(t))$ における法線の方程式は

$y - f(t) = -\frac{1}{\log t} (x - t)$

$y - (t \log t - t) = -\frac{1}{\log t} (x - t)$

この法線が点 $(a, 0)$ を通るので、

$0 - (t \log t - t) = -\frac{1}{\log t} (a - t)$

$-t(\log t - 1) = -\frac{a - t}{\log t}$

$t (\log t - 1) = \frac{a - t}{\log t}$

$t \log t (\log t - 1) = a - t$

$a = t + t \log t (\log t - 1)$

$a = t(1 + \log t (\log t - 1)) = t(1 + (\log t)^2 - \log t)$

(2)

$a > e$ を満たす定数 $a$ に対して、$a = t(1 + (\log t)^2 - \log t)$ を満たす $t$ がただ一つ存在し、$t > e$ を満たすことを示す。

$g(t) = t(1 + (\log t)^2 - \log t)$ とおく。

$g'(t) = 1 + (\log t)^2 - \log t + t (2 \log t \cdot \frac{1}{t} - \frac{1}{t})$

$g'(t) = 1 + (\log t)^2 - \log t + 2 \log t - 1 = (\log t)^2 + \log t$

$g'(t) = \log t (\log t + 1)$

$t > 1$ なので、$\log t > 0$ となるのは $t > 1$ のとき。したがって、$t > 1$ で $g'(t) > 0$ となるのは $t > 1$ のときである。

$g(t)$ は $t > 1$ で単調増加である。

$t = e$ のとき、$g(e) = e(1 + (\log e)^2 - \log e) = e(1 + 1 - 1) = e$

$a > e$ より、$g(t) = a$ となる $t$ は $t > e$ でただ一つ存在する。

(3)

$a_n = a_{n+1} (1 + (\log a_{n+1})^2 - \log a_{n+1})$

$f'(x) = \log x$ より、点 $(a_{n+1}, f(a_{n+1}))$ における接線の傾きは $\log a_{n+1}$。

法線の傾きは $-\frac{1}{\log a_{n+1}}$ である。

$y - f(a_{n+1}) = -\frac{1}{\log a_{n+1}} (x - a_{n+1})$ が $(a_n, 0)$ を通るので

$0 - (a_{n+1} \log a_{n+1} - a_{n+1}) = -\frac{1}{\log a_{n+1}} (a_n - a_{n+1})$

$-a_{n+1} (\log a_{n+1} - 1) = -\frac{a_n - a_{n+1}}{\log a_{n+1}}$

$a_{n+1} (\log a_{n+1} - 1) \log a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$

$a_n = a_{n+1} + a_{n+1} \log a_{n+1} (\log a_{n+1} - 1) = a_{n+1} (1 + (\log a_{n+1})^2 - \log a_{n+1})$

$a_{n+1} - e = \frac{a_n - e(1 + (\log a_{n+1})^2 - \log a_{n+1})}{1 + (\log a_{n+1})^2 - \log a_{n+1}}$

$|a_{n+1} - e| < \frac{1}{2} |a_n - e|$ を示す。

$a_1 = 3 > e$ である。すべての $n$ に対して、$a_n > e$ であると仮定する。

$a_{n+1} - e = \frac{a_n - a_{n+1}}{1 + (\log a_{n+1})^2 - \log a_{n+1}}$

$1 + (\log a_{n+1})^2 - \log a_{n+1} > 1 + 1 - 1 > 0$ である。

$|a_{n+1} - e| < \frac{1}{2} |a_n - e|$ を示すには、$|a_{n+1} - e| < |a_n - e|/2$ を示せば良い。

$a_{n+1}-e=\frac{a_n-a_{n+1}}{\log(a_{n+1})(\log(a_{n+1})-1)+1}$, $a_n > a_{n+1}$.

(4)

$|a_{n+1} - e| < \frac{1}{2} |a_n - e|$ より、$|a_n - e| < (\frac{1}{2})^{n-1} |a_1 - e|$ となる。

$\lim_{n \to \infty} |a_n - e| = 0$ となるので、$\lim_{n \to \infty} a_n = e$。

数列 $\{a_n\}$ は収束し、極限値は $e$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = t(1 + (\log t)^2 - \log t)$

(2) 証明は上記参照

(3) 証明は上記参照

(4) 極限値は $e$