関数 $f(x) = (x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ (ただし、$\alpha, \beta$は定数)について、以下の問いに答えよ。 (1) $f'(x)$および$f''(x)$を求めよ。 (2) $f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha, \beta$の条件を求めよ。 (3) $f(x)$が$x=1$で極値をとり、さらに点$(4, f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha, \beta$の値を定め、関数$y=f(x)$の極値とその曲線の変曲点をすべて求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ (ただし、$\alpha, \beta$は定数)について、以下の問いに答えよ。

(1) $f'(x)$および$f''(x)$を求めよ。

(2) $f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha, \beta$の条件を求めよ。

(3) $f(x)$が$x=1$で極値をとり、さらに点$(4, f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha, \beta$の値を定め、関数$y=f(x)$の極値とその曲線の変曲点をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$と$f''(x)$を求める。

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分法を利用する。

まず、$f'(x)$を計算する。

$f(x) = (x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ より、

$f'(x) = (2x + \alpha)e^{-x} + (x^2 + \alpha x + \beta)(-e^{-x}) = (-x^2 + (2-\alpha)x + (\alpha-\beta))e^{-x}$

次に、$f''(x)$を計算する。

$f'(x) = (-x^2 + (2-\alpha)x + (\alpha-\beta))e^{-x}$ より、

$f''(x) = (-2x + (2-\alpha))e^{-x} + (-x^2 + (2-\alpha)x + (\alpha-\beta))(-e^{-x})$

$= (x^2 + (\alpha-4)x + (2-2\alpha+\beta))e^{-x}$

(2) $f(x)$が$x=1$で極値をとる条件を求める。

$f(x)$が$x=1$で極値をとるためには、$f'(1) = 0$が必要である。

$f'(1) = (-1 + (2-\alpha) + (\alpha-\beta))e^{-1} = (1-\beta)e^{-1} = 0$

よって、$\beta = 1$。

(3) $f(x)$が$x=1$で極値をとり、さらに$(4, f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha, \beta$の値を定める。

(2)より、$\beta = 1$。

$(4, f(4))$が変曲点であるためには、$f''(4) = 0$が必要である。

$f''(4) = (4^2 + (\alpha-4)4 + (2-2\alpha+\beta))e^{-4} = (16 + 4\alpha - 16 + 2 - 2\alpha + 1)e^{-4} = (2\alpha + 3)e^{-4} = 0$

よって、$2\alpha + 3 = 0$より、$\alpha = -\frac{3}{2}$。

$\alpha = -\frac{3}{2}$, $\beta = 1$のとき、

$f(x) = (x^2 - \frac{3}{2}x + 1)e^{-x}$

$f'(x) = (-x^2 + \frac{7}{2}x - \frac{1}{2})e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 - \frac{11}{2}x + \frac{11}{4})e^{-x}$

$f'(x) = 0$となるのは、$x=1$と$x=\frac{1}{2}$である。

$x=1$の前後で$f'(x)$の符号が変わるので、$f(1)$は極値。

$x=4$の前後で$f''(x)$の符号が変わるので、$f(4)$は変曲点。

$x=1$のとき、$f(1) = (1 - \frac{3}{2} + 1)e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1}$

$x=4$のとき、$f(4) = (16 - 6 + 1)e^{-4} = 11e^{-4}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = (-x^2 + (2-\alpha)x + (\alpha-\beta))e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 + (\alpha-4)x + (2-2\alpha+\beta))e^{-x}$

(2) $\beta = 1$

(3) $\alpha = -\frac{3}{2}, \beta = 1$

極値: $(1, \frac{1}{2}e^{-1})$

変曲点: $(4, 11e^{-4})$