定積分 $\int_{0}^{3} 2x\sqrt{4-x} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} 2x\sqrt{4-x} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いて計算を簡単にします。

$u = 4-x$ とおくと、$x = 4-u$ であり、$dx = -du$ となります。

積分区間も変更する必要があります。$x=0$ のとき $u=4$ で、$x=3$ のとき $u=1$ となります。

したがって、与えられた積分は次のようになります。

$\int_{0}^{3} 2x\sqrt{4-x} \, dx = \int_{4}^{1} 2(4-u)\sqrt{u} (-du) = 2 \int_{1}^{4} (4-u)\sqrt{u} \, du$

$= 2 \int_{1}^{4} (4\sqrt{u} - u\sqrt{u}) \, du = 2 \int_{1}^{4} (4u^{1/2} - u^{3/2}) \, du$

次に、各項を積分します。

$2 \int_{1}^{4} (4u^{1/2} - u^{3/2}) \, du = 2 \left[ 4 \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} \right]_{1}^{4}$

$= 2 \left[ \frac{8}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} \right]_{1}^{4}$

$= 2 \left[ \left( \frac{8}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{5}(4)^{5/2} \right) - \left( \frac{8}{3}(1)^{3/2} - \frac{2}{5}(1)^{5/2} \right) \right]$

$= 2 \left[ \left( \frac{8}{3}(8) - \frac{2}{5}(32) \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{2}{5} \right) \right]$

$= 2 \left[ \left( \frac{64}{3} - \frac{64}{5} \right) - \left( \frac{40-6}{15} \right) \right]$

$= 2 \left[ \frac{320-192}{15} - \frac{34}{15} \right] = 2 \left[ \frac{128}{15} - \frac{34}{15} \right]$

$= 2 \left[ \frac{94}{15} \right] = \frac{188}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{188}{15}$