$x$軸との角度$\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)である方向を$\ell$とする。次の関数$f(x,y)$について、$(0,0)$での方向微分係数$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$を求めなさい。 (1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ (2) $f(x,y) = xe^{-y}$ (3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$

1. 問題の内容

$x$軸との角度$\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)である方向を$\ell$とする。次の関数$f(x,y)$について、$(0,0)$での方向微分係数$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$を求めなさい。

(1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$

(2) $f(x,y) = xe^{-y}$

(3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ の場合

方向ベクトルを$\mathbf{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$とする。方向微分は

$$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{|t^2 \cos\theta \sin\theta|}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|\sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}}{t}$$

$t \to 0^+$のとき、$\lim_{t \to 0^+} \frac{|t|\sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}}{t} = \sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}$

$t \to 0^-$のとき、$\lim_{t \to 0^-} \frac{|t|\sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}}{t} = -\sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}$

$\cos\theta \sin\theta \neq 0$のとき、右極限と左極限が一致しないため、方向微分は存在しない。

$\cos\theta \sin\theta = 0$のとき、$\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$であり、方向微分は0。

(2) $f(x,y) = xe^{-y}$ の場合

$$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta e^{-t\sin\theta}}{t} = \lim_{t \to 0} \cos\theta e^{-t\sin\theta} = \cos\theta$$

(3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$ の場合

$$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^4 \cos^4\theta + t^2 \sin^2\theta}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|\sqrt{t^2 \cos^4\theta + \sin^2\theta}}{t}$$

$\sin\theta \neq 0$のとき、$\lim_{t \to 0^+} \frac{|t|\sqrt{t^2 \cos^4\theta + \sin^2\theta}}{t} = |\sin\theta|$

$\lim_{t \to 0^-} \frac{|t|\sqrt{t^2 \cos^4\theta + \sin^2\theta}}{t} = -|\sin\theta|$

となり、方向微分は存在しない。

$\sin\theta = 0$のとき、$\theta = 0, \pi$であり、

$$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^4 \cos^4\theta}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|^2 \cos^2\theta}{t} = 0$$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ のとき0。それ以外の$\theta$では存在しない。

(2) $\cos\theta$

(3) $\theta = 0, \pi$ のとき0。それ以外の$\theta$では存在しない。