$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解きます。 (1) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = \sqrt{3}$ (2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解きます。

(1) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\sqrt{3} \sin x - \cos x = \sqrt{3}$ を解く。

左辺を合成します。

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6})$

したがって、与えられた方程式は

$2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

よって、

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$

(2) 不等式 $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{3}$ を解く。

左辺を合成すると、

$2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \sqrt{3}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$\sin \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$-\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \theta < \frac{11\pi}{6}$

よって、

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$