関数 $f(x) = (x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f'(x)$ および $f''(x)$ を求めよ。 (2) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとるための $\alpha, \beta$ の条件を求めよ。 (3) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとり、さらに点 $(4, f(4))$ が曲線 $y=f(x)$ の変曲点となるように $\alpha, \beta$ の値を定め、関数 $y=f(x)$ の極値と、その曲線の変曲点をすべて求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f'(x)$ および $f''(x)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとるための $\alpha, \beta$ の条件を求めよ。

(3) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとり、さらに点 $(4, f(4))$ が曲線 $y=f(x)$ の変曲点となるように $\alpha, \beta$ の値を定め、関数 $y=f(x)$ の極値と、その曲線の変曲点をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ の導関数を求めます。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$f'(x) = (2x + \alpha)e^{-x} + (x^2 + \alpha x + \beta)(-e^{-x})$

$f'(x) = (-x^2 + (2-\alpha)x + \alpha - \beta)e^{-x}$

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = (-2x + 2 - \alpha)e^{-x} + (-x^2 + (2-\alpha)x + \alpha - \beta)(-e^{-x})$

$f''(x) = (x^2 + (\alpha - 4)x + 2 - \alpha + \beta)e^{-x}$

(2) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとるとき、$f'(1) = 0$ となります。

$f'(1) = (-1^2 + (2-\alpha)(1) + \alpha - \beta)e^{-1} = 0$

$(-1 + 2 - \alpha + \alpha - \beta)e^{-1} = 0$

$(1 - \beta)e^{-1} = 0$

$1 - \beta = 0$

$\beta = 1$

(3) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとり、さらに点 $(4, f(4))$ が曲線 $y=f(x)$ の変曲点となるとき、$f'(1) = 0$ かつ $f''(4) = 0$ となります。

(2)より、$\beta = 1$ です。

$f''(4) = (4^2 + (\alpha - 4)(4) + 2 - \alpha + \beta)e^{-4} = 0$

$(16 + 4\alpha - 16 + 2 - \alpha + 1)e^{-4} = 0$

$(3\alpha + 3)e^{-4} = 0$

$3\alpha + 3 = 0$

$\alpha = -1$

したがって、$\alpha = -1, \beta = 1$ です。

$f(x) = (x^2 - x + 1)e^{-x}$

$f'(x) = (-x^2 + 3x - 2)e^{-x} = -(x-1)(x-2)e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 - 5x + 4)e^{-x} = (x-1)(x-4)e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=1, 2$

$f''(x) = 0$ となるのは $x=1, 4$

$f(1) = (1^2 - 1 + 1)e^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f(2) = (2^2 - 2 + 1)e^{-2} = 3e^{-2} = \frac{3}{e^2}$

$f(4) = (4^2 - 4 + 1)e^{-4} = 13e^{-4} = \frac{13}{e^4}$

$x=1$ で極値を取り、$f'(x)$ の符号変化から、$x=1$ で極小値 $\frac{1}{e}$ を取ります。

$x=2$ で極値を取り、$f'(x)$ の符号変化から、$x=2$ で極大値 $\frac{3}{e^2}$ を取ります。

変曲点は $x=4$ なので、$(4, \frac{13}{e^4})$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = (-x^2 + (2-\alpha)x + \alpha - \beta)e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 + (\alpha - 4)x + 2 - \alpha + \beta)e^{-x}$

(2) $\beta = 1$

(3) $\alpha = -1, \beta = 1$

極値: $(1, \frac{1}{e})$ (極小), $(2, \frac{3}{e^2})$ (極大)

変曲点: $(4, \frac{13}{e^4})$