問題21は、定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx$ を計算し、その結果が $\log\sqrt{\frac{ア}{イ}}$ の形になるように、アとイに入る数字を答える問題です。

1. 問題の内容

問題21は、定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx$ を計算し、その結果が $\log\sqrt{\frac{ア}{イ}}$ の形になるように、アとイに入る数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず被積分関数を部分分数分解します。

$2x^2+5x+2 = (2x+1)(x+2)$ より、

$\frac{x-4}{2x^2+5x+2} = \frac{x-4}{(2x+1)(x+2)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+2}$

とおきます。両辺に$(2x+1)(x+2)$を掛けると、

$x-4 = A(x+2) + B(2x+1)$

となります。

$x = -2$ を代入すると、

$-2-4 = A(0) + B(2(-2)+1)$

$-6 = -3B$

$B = 2$

$x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$-\frac{1}{2}-4 = A(-\frac{1}{2}+2) + B(0)$

$-\frac{9}{2} = \frac{3}{2} A$

$A = -3$

よって、$\frac{x-4}{2x^2+5x+2} = \frac{-3}{2x+1} + \frac{2}{x+2}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx = \int_{0}^{1} (\frac{-3}{2x+1} + \frac{2}{x+2})dx$

$= [-\frac{3}{2}\log|2x+1| + 2\log|x+2|]_{0}^{1}$

$= (-\frac{3}{2}\log3 + 2\log3) - (-\frac{3}{2}\log1 + 2\log2)$

$= \frac{1}{2}\log3 - 2\log2 = \log\sqrt{3} - \log4 = \log\frac{\sqrt{3}}{4}$

したがって、$\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx = \log \frac{\sqrt{3}}{4} = \log \sqrt{\frac{3}{16}}$

よって、$ア = 3, イ = 16$

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 16