与えられた積分 $\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解くことができます。

1. $u = x^3 + 1$ と置きます。

2. $du$ を計算します。 $du = 3x^2 \, dx$

3. $x^2 \, dx$ を $du$ で表します。 $x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du$

4. 積分を書き換えます。

$$\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du$$

5. $\int u^{1/2} \, du$ を計算します。

$$\int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$

6. 元の変数 $x$ に戻します。

$$\frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{9} u^{3/2} + C = \frac{2}{9} (x^3 + 1)^{3/2} + C$$

3. 最終的な答え

$$\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx = \frac{2}{9}(x^3 + 1)^{3/2} + C$$