$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の方程式と不等式を解く。 (1) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = \sqrt{3}$ (2) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} \le \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の方程式と不等式を解く。

(1) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} \le \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形する。

$\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} - \frac{1}{2}\cos{x}) = 2(\sin{x}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{6}}) = 2\sin{(x-\frac{\pi}{6})}$

したがって、方程式は $2\sin{(x-\frac{\pi}{6})} = \sqrt{3}$ となる。

両辺を2で割ると、

$\sin{(x-\frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x-\frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$ であるから、

$x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

(2) の解き方：

(1)と同様に、不等式の左辺を三角関数の合成を用いて変形する。

$\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 2\sin{(x-\frac{\pi}{6})}$

したがって、不等式は $2\sin{(x-\frac{\pi}{6})} \le \sqrt{3}$ となる。

両辺を2で割ると、

$\sin{(x-\frac{\pi}{6})} \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{6} \le x-\frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$ である。

$\sin{\theta} \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる範囲は、$-\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \theta < \frac{11\pi}{6}$ である。

よって、 $-\frac{\pi}{6} \le x-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le x-\frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

したがって、 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$