関数 $f(x)=(x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f'(x)$ および $f''(x)$ を求めよ。 (2) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとるための $\alpha, \beta$ の条件を求めよ。 (3) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとり、さらに点 $(4, f(4))$ が曲線 $y=f(x)$ の変曲点となるように $\alpha, \beta$ の値を定め、関数 $y=f(x)$ の極値と、その曲線の変曲点をすべて求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)=(x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f'(x)$ および $f''(x)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとるための $\alpha, \beta$ の条件を求めよ。

(3) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとり、さらに点 $(4, f(4))$ が曲線 $y=f(x)$ の変曲点となるように $\alpha, \beta$ の値を定め、関数 $y=f(x)$ の極値と、その曲線の変曲点をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)=(x^2 + \alpha x + \beta)e^{-x}$ を微分する。

$f'(x) = (2x + \alpha)e^{-x} + (x^2 + \alpha x + \beta)(-e^{-x})$

$f'(x) = (2x + \alpha - x^2 - \alpha x - \beta)e^{-x}$

$f'(x) = (-x^2 + (2-\alpha)x + \alpha - \beta)e^{-x}$

次に、$f''(x)$を求める。

$f''(x) = (-2x + 2 - \alpha)e^{-x} + (-x^2 + (2-\alpha)x + \alpha - \beta)(-e^{-x})$

$f''(x) = (-2x + 2 - \alpha + x^2 - (2-\alpha)x - \alpha + \beta)e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 - 2x + 2 - \alpha - 2x + \alpha - \alpha + \beta)e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 - 4x + 2 - \alpha + \beta)e^{-x}$

(2) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとることから、$f'(1)=0$ である。

$f'(1) = (-1 + 2 - \alpha + \alpha - \beta)e^{-1} = (1 - \beta)e^{-1} = 0$

したがって、$\beta = 1$

(3) $f(x)$ が $x=1$ で極値をとり、点 $(4, f(4))$ が変曲点となるので、$f'(1)=0$ かつ $f''(4)=0$ である。

(2) より $\beta = 1$

$f''(4) = (4^2 - 4\times4 + 2 - \alpha + \beta)e^{-4} = (16 - 16 + 2 - \alpha + 1)e^{-4} = (3-\alpha)e^{-4} = 0$

したがって、$\alpha = 3$

このとき、$f(x) = (x^2 + 3x + 1)e^{-x}$

$f'(x) = (-x^2 - x + 2)e^{-x} = -(x-1)(x+2)e^{-x}$

$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるので、$x=1$ で極値を取る。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x=1, -2$ のとき。

$x = 1$ で極値をとり、$f(1) = (1^2 + 3\times 1 + 1)e^{-1} = 5e^{-1} = \frac{5}{e}$

$x = -2$ で極値をとり、$f(-2) = ((-2)^2 + 3\times (-2) + 1)e^{-(-2)} = (4 - 6 + 1)e^2 = -e^2$

よって、極値は $x=1$ で極大値 $\frac{5}{e}$、$x=-2$ で極小値 $-e^2$

$f''(x) = (x^2 - 4x + 2 - \alpha + \beta)e^{-x} = (x^2 - 4x + 2 - 3 + 1)e^{-x} = (x^2 - 4x)e^{-x} = x(x-4)e^{-x}$

$f''(x) = 0$ となるのは、$x=0, 4$ のとき。

$x=0$ の前後で $f''(x)$ の符号が変わるので、$x=0$ は変曲点。$f(0) = (0^2 + 3 \times 0 + 1)e^{-0} = 1$

$x=4$ の前後で $f''(x)$ の符号が変わるので、$x=4$ は変曲点。$f(4) = (4^2 + 3 \times 4 + 1)e^{-4} = (16+12+1)e^{-4} = 29e^{-4} = \frac{29}{e^4}$

よって、変曲点は $(0, 1)$ と $(4, \frac{29}{e^4})$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = (-x^2 + (2-\alpha)x + \alpha - \beta)e^{-x}$

$f''(x) = (x^2 - 4x + 2 - \alpha + \beta)e^{-x}$

(2) $\beta = 1$

(3) $\alpha = 3$, $\beta = 1$

極値：$x=1$ で極大値 $\frac{5}{e}$、$x=-2$ で極小値 $-e^2$

変曲点：$(0, 1)$ と $(4, \frac{29}{e^4})$