関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} \log x$ のグラフの、$1 \le x \le e$ の部分の長さを求めます。また、$f'(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x}$ が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} \log x$ のグラフの、$1 \le x \le e$ の部分の長さを求めます。また、$f'(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

グラフの長さを求める公式は次の通りです。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

ここで、$a = 1$、$b = e$、$f'(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x}$ です。

まず、$(f'(x))^2$ を計算します。

$(f'(x))^2 = \left( \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x} \right)^2 = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2}$

次に、$1 + (f'(x))^2$ を計算します。

$1 + (f'(x))^2 = 1 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} = \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2x} \right)^2$

したがって、$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{\left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2x} \right)^2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2x}$

最後に、積分を計算します。

$L = \int_1^e \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2x} \right) dx = \left[ \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2} \log x \right]_1^e = \left( \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{2} \log e \right) - \left( \frac{1}{4}(1)^2 + \frac{1}{2} \log 1 \right)$

$L = \left( \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} + 0 \right) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 + 1}{4}$