$x, y$ は相異なる正の実数とする。数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = x a_n + y^{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するような座標平面上の点 $(x, y)$ の範囲を図示する。

1. 問題の内容

$x, y$ は相異なる正の実数とする。数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = x a_n + y^{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するような座標平面上の点 $(x, y)$ の範囲を図示する。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = x a_n + y^{n+1}$ という漸化式を解くことを試みる。$a_1=0$ であるから

$a_2 = x a_1 + y^2 = y^2$

$a_3 = x a_2 + y^3 = xy^2 + y^3$

$a_4 = x a_3 + y^4 = x(xy^2+y^3)+y^4 = x^2 y^2 + xy^3 + y^4$

一般項を求めるために、漸化式を繰り返し用いると

$a_{n+1} = x a_n + y^{n+1} = x (x a_{n-1} + y^n) + y^{n+1} = x^2 a_{n-1} + xy^n + y^{n+1} = \cdots$

$= x^{n-1} a_2 + x^{n-2} y^3 + x^{n-3} y^4 + \cdots + xy^n + y^{n+1} = x^{n-1} y^2 + \sum_{k=3}^{n+1} x^{n+1-k} y^k$

$= x^{n-1} y^2 + y^3 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k} = x^{n-1} y^2 + y^3 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k}$

ここで、$\sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k} = y^{n-2} \sum_{k=0}^{n-2} (\frac{x}{y})^k$

$S_n = \sum_{k=0}^{n-2} (\frac{x}{y})^k = \frac{1 - (\frac{x}{y})^{n-1}}{1 - \frac{x}{y}} = \frac{1 - (\frac{x}{y})^{n-1}}{\frac{y-x}{y}} = \frac{y}{y-x} (1 - (\frac{x}{y})^{n-1})$

よって、$a_{n+1} = x^{n-1} y^2 + y^3 y^{n-2} \frac{y}{y-x} (1 - (\frac{x}{y})^{n-1}) = x^{n-1} y^2 + \frac{y^{n+2}}{y-x} (1 - (\frac{x}{y})^{n-1}) = x^{n-1} y^2 + \frac{y^{n+2} - x^{n-1} y^3}{y-x} = \frac{x^{n-1} y^2 (y-x) + y^{n+2} - x^{n-1} y^3}{y-x} = \frac{x^{n-1} y^3 - x^n y^2 + y^{n+2} - x^{n-1} y^3}{y-x} = \frac{y^{n+2} - x^n y^2}{y-x} = y^2 \frac{y^n - x^n}{y-x}$

$a_{n+1} = y^2 (y^{n-1} + x y^{n-2} + x^2 y^{n-3} + \dots + x^{n-2} y + x^{n-1})$

$a_n = y^2 \sum_{k=0}^{n-2} x^k y^{n-2-k}$

$\lim_{n \to \infty} a_n$ が有限の値に収束するためには、$|x|<1$ かつ $|y|<1$ が必要。

このとき、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L$ とすると、$L = x L + \lim_{n \to \infty} y^{n+1}$

$L = x L + 0$ より、$L(1-x)=0$。よって、$L=0$。

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ となるためには、$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ が必要。

また、$x$ と $y$ は相異なる正の実数であるから、$0<x<1$ かつ $0<y<1$ かつ $x \ne y$ が必要十分条件である。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$, $0 < y < 1$, $x \neq y$ を満たす領域。