関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\log x$ のグラフにおいて、$1 \le x \le e$ の部分の長さを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\log x$ のグラフにおいて、$1 \le x \le e$ の部分の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

グラフの長さ（弧長）を求める公式は、

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

である。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\log x$

$f'(x) = \frac{1}{4}(2x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2x}$

次に、$1 + (f'(x))^2$ を計算する。

$1 + (f'(x))^2 = 1 + (\frac{x}{2} - \frac{1}{2x})^2 = 1 + \frac{x^2}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2x})^2$

したがって、$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x})^2} = |\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}| = \frac{x}{2} + \frac{1}{2x}$

($x > 0$ の範囲で考えているから絶対値を外せる)

最後に、グラフの長さを計算する。

$L = \int_1^e (\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}) dx = \frac{1}{2} \int_1^e (x + \frac{1}{x}) dx = \frac{1}{2}[\frac{x^2}{2} + \log x]_1^e = \frac{1}{2}[(\frac{e^2}{2} + \log e) - (\frac{1}{2} + \log 1)] = \frac{1}{2}[(\frac{e^2}{2} + 1) - (\frac{1}{2} + 0)] = \frac{1}{2}[\frac{e^2}{2} + 1 - \frac{1}{2}] = \frac{1}{2}[\frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{e^2 + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2+1}{4}$