与えられた積分 $\int 6t \tan(3t) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int 6t \tan(3t) dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は初等関数では表現できないため、解くことはできません。しかし、積分を求めることができないことを示すことは難しいです。

$\int 6t \tan(3t) dt$ を部分積分で解こうとすると、

$u = 6t$, $dv = \tan(3t) dt$ とおくと、

$du = 6 dt$, $v = \int \tan(3t) dt = -\frac{1}{3} \ln |\cos(3t)|$

となります。

したがって、

$\int 6t \tan(3t) dt = 6t \cdot (-\frac{1}{3} \ln |\cos(3t)|) - \int (-\frac{1}{3} \ln |\cos(3t)|) 6 dt$

$= -2t \ln |\cos(3t)| + 2 \int \ln |\cos(3t)| dt$

となります。

しかし、$\int \ln |\cos(3t)| dt$ を求めることは難しいです。

WolframAlphaなどの計算ツールを使っても、この積分は初等関数で表現できないことが分かります。

3. 最終的な答え

この積分は初等関数では表現できません。したがって、積分を求めることはできません。

$\int 6t \tan(3t) dt = -2t \ln |\cos(3t)| + 2 \int \ln |\cos(3t)| dt$

上記が積分を求める上で最も簡単な形式です。