与えられた8つの2階線形微分方程式の一般解を求めます。(1)から(4)は斉次方程式、(5)から(8)は非斉次方程式です。斉次方程式は特性方程式を用いて解き、非斉次方程式は未定係数法などを用いて解きます。

はい、微分方程式の問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた8つの2階線形微分方程式の一般解を求めます。(1)から(4)は斉次方程式、(5)から(8)は非斉次方程式です。斉次方程式は特性方程式を用いて解き、非斉次方程式は未定係数法などを用いて解きます。

2. 解き方の手順

(1) $y'' - 2y' - 3y = 0$

特性方程式は $\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$ となります。

$(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$ より、$\lambda = 3, -1$ です。

したがって、一般解は $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$ です。

(2) $y'' - 2y' + 3y = 0$

特性方程式は $\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 0$ となります。

$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$ です。

したがって、一般解は $y = e^x (C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x))$ です。

(3) $y'' + y = 0$

特性方程式は $\lambda^2 + 1 = 0$ となります。

$\lambda = \pm i$ です。

したがって、一般解は $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$ です。

(4) $y'' - 4y' + 4y = 0$

特性方程式は $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ となります。

$(\lambda - 2)^2 = 0$ より、$\lambda = 2$ (重根) です。

したがって、一般解は $y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ です。

(5) $y'' - 5y' + 6y = (2x+3)e^{3x}$

斉次方程式の解は、$y'' - 5y' + 6y = 0$ の特性方程式は $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ より $\lambda=2,3$ なので $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

非斉次方程式の特殊解を $y_p = (Ax^2 + Bx)e^{3x}$ と仮定します。

$y_p' = (2Ax + B)e^{3x} + 3(Ax^2 + Bx)e^{3x} = (3Ax^2 + (2A+3B)x + B)e^{3x}$

$y_p'' = (6Ax + 2A + 3B)e^{3x} + 3(3Ax^2 + (2A+3B)x + B)e^{3x} = (9Ax^2 + (12A+9B)x + 2A + 6B)e^{3x}$

$y_p'' - 5y_p' + 6y_p = (9Ax^2 + (12A+9B)x + 2A + 6B - 15Ax^2 - (10A+15B)x - 5B + 6Ax^2 + 6Bx)e^{3x} = (2Ax+3)e^{3x}$

よって $-2Ax + 2A + B = 2x + 3$ より $-2A = 2$, $2A+B = 3$, $A = -1$, $B = 5$

したがって、$y_p = (-x^2 + 5x)e^{3x}$ です。

一般解は $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + (-x^2 + 5x)e^{3x}$ です。

(6) $y'' + a^2 y = \cos bx$ ($a \neq b$)

斉次方程式の解は $y_h = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax$

特殊解を $y_p = A\cos bx + B \sin bx$ と仮定します。

$y_p' = -Ab\sin bx + Bb\cos bx$

$y_p'' = -Ab^2\cos bx - Bb^2 \sin bx$

$y_p'' + a^2 y_p = (-Ab^2 + a^2A)\cos bx + (-Bb^2 + a^2 B)\sin bx = \cos bx$

$A(a^2 - b^2) = 1$, $B(a^2 - b^2) = 0$. よって $A = \frac{1}{a^2 - b^2}$, $B=0$.

$y_p = \frac{1}{a^2 - b^2} \cos bx$

一般解は $y = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + \frac{1}{a^2 - b^2} \cos bx$

(7) $y'' - 2y' + y = x + 2\sin x$

斉次方程式の解は $y_h = (C_1 + C_2 x)e^x$

特殊解を $y_p = Ax + B + C\cos x + D\sin x$ と仮定します。

$y_p' = A - C\sin x + D\cos x$

$y_p'' = -C\cos x - D\sin x$

$y_p'' - 2y_p' + y_p = -C\cos x - D\sin x - 2A + 2C\sin x - 2D\cos x + Ax + B + C\cos x + D\sin x = x + 2\sin x$

$Ax + (B - 2A) + (2C)\sin x - (2D)\cos x= x + 2\sin x$

$A=1, B-2A=0, 2C=2, -2D=0$

$A = 1$, $B=2$, $C=1$, $D=0$

$y_p = x + 2 + \cos x$

一般解は $y = (C_1 + C_2 x)e^x + x + 2 + \cos x$

(8) $y'' + 4y = 4\cos 2x$

斉次方程式の解は $y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$

特殊解を $y_p = Ax\cos 2x + Bx\sin 2x$ と仮定します。

$y_p' = A\cos 2x - 2Ax\sin 2x + B\sin 2x + 2Bx\cos 2x$

$y_p'' = -2A\sin 2x - 2A\sin 2x - 4Ax\cos 2x + 2B\cos 2x + 2B\cos 2x - 4Bx\sin 2x$

$y_p'' = -4A\sin 2x - 4Ax\cos 2x + 4B\cos 2x - 4Bx\sin 2x$

$y_p'' + 4y_p = -4A\sin 2x + 4B\cos 2x = 4\cos 2x$

$4B=4$, $-4A=0$ よって $A=0$, $B=1$

$y_p = x\sin 2x$

一般解は $y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + x\sin 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$

(2) $y = e^x (C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x))$

(3) $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

(4) $y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$

(5) $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + (-x^2 + 5x)e^{3x}$

(6) $y = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + \frac{1}{a^2 - b^2} \cos bx$

(7) $y = (C_1 + C_2 x)e^x + x + 2 + \cos x$

(8) $y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + x\sin 2x$