(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \log x$ のグラフの $1 \le x \le e$ の部分の長さを求める問題です。 (2) 底面の半径が1の円柱2本が垂直に交わっているとき、それらの共通部分の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \log x$ のグラフの $1 \le x \le e$ の部分の長さを求める問題です。

(2) 底面の半径が1の円柱2本が垂直に交わっているとき、それらの共通部分の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) グラフの長さを求める問題

曲線 $y = f(x)$ の $a \le x \le b$ の範囲の長さ $L$ は、次の式で求められます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

まず、$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \log x$ を微分します。

$f'(x) = x - \frac{1}{x}$

次に、$\sqrt{1 + (f'(x))^2}$ を計算します。

$1 + (f'(x))^2 = 1 + (x - \frac{1}{x})^2 = 1 + x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2$

したがって、$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{(x + \frac{1}{x})^2} = x + \frac{1}{x}$ となります。 ($x > 0$ なので絶対値は不要です)

最後に、積分を計算します。

$L = \int_1^e (x + \frac{1}{x}) dx = [\frac{1}{2}x^2 + \log x]_1^e = (\frac{1}{2}e^2 + \log e) - (\frac{1}{2} \cdot 1^2 + \log 1) = \frac{1}{2}e^2 + 1 - \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} = \frac{e^2 + 1}{2}$

(2) 円柱の共通部分の体積を求める問題

半径1の2つの円柱が垂直に交わるとき、その共通部分の体積はSteinmetz Solidと呼ばれます。この体積は積分を使って求めることができます。

共通部分をx軸に垂直な平面で切ると、断面は正方形になります。正方形の一辺の長さは$2\sqrt{1-x^2}$であり、その面積は $(2\sqrt{1-x^2})^2 = 4(1-x^2)$となります。

$x$の範囲は$-1$から$1$です。

したがって、体積$V$は次のようになります。

$V = \int_{-1}^1 4(1-x^2)dx = 4\int_{-1}^1 (1-x^2)dx = 4[x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^1 = 4[(1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{1}{3}(-1))] = 4[(1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})] = 4[\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})] = 4(\frac{4}{3}) = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^2+1}{2}$

(2) $\frac{16}{3}$