与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。具体的には、$S = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \dots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$ を計算します。画像には、$2S$を計算し、$S$との差をとることで$S$を求める手順が示されています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。具体的には、$S = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \dots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$ を計算します。画像には、$2S$を計算し、$S$との差をとることで$S$を求める手順が示されています。

2. 解き方の手順

まず、$S$ と $2S$ の式が与えられています。

$S = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \dots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$

$2S = 1\cdot2 + 3\cdot2^2 + 5\cdot2^3 + \dots + (2n-3)\cdot2^{n-1} + (2n-1)\cdot2^n$

次に、$2S$ から $S$ を引きます。

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1)\cdot2^n$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を用いて計算します。初項は2, 公比は2, 項数は$n-1$なので、

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{n-1}-1)$

したがって、

$-S = 1 + 2\cdot 2(2^{n-1} - 1) - (2n-1)\cdot2^n = 1 + 4(2^{n-1} - 1) - (2n-1)\cdot2^n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)\cdot2^n = -3 + 2^{n+1} - (2n-1)\cdot2^n = -3 + 2\cdot2^n - (2n-1)\cdot2^n = -3 + (2 - 2n + 1)\cdot2^n = -3 + (3-2n)\cdot2^n$

よって、

$S = 3 + (2n-3)\cdot2^n = (2n-3)2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$