曲線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸との交点を求めます。

$x^2 - 2x = 0$ を解くと、

$x(x-2) = 0$ より、$x = 0, 2$ となります。

曲線 $y = x^2 - 2x$ は区間 $[0, 2]$ で $x$ 軸より下に位置します。

したがって、求める面積 $S$ は、

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S = -\int_0^2 (x^2 - 2x) \, dx

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で計算できます。積分を実行します。

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\int_0^2 (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - 2^2 - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 \right) = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8 - 12}{3} = -\frac{4}{3}

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したがって、

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S = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}

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3. 最終的な答え

求める面積は $\frac{4}{3}$ です。