与えられた4つの不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx$ (2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^2}} dx$ (3) $\int \frac{\sin{x}}{\cos^3{x}} dx$ (4) $\int \frac{1}{1-\cos{x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^2}} dx$

(3) $\int \frac{\sin{x}}{\cos^3{x}} dx$

(4) $\int \frac{1}{1-\cos{x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx$

$x-1 = t^2$ と置換します。すると、$x = t^2 + 1$、$dx = 2t dt$ となります。

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx = \int \frac{1}{(t^2+1)t} 2t dt = 2\int \frac{1}{t^2+1} dt = 2\arctan{t} + C = 2\arctan{\sqrt{x-1}} + C$$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^2}} dx$

$x = \sin{\theta}$ と置換します。すると、$dx = \cos{\theta} d\theta$ となります。

$$\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{(\sin{\theta}+1)\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} \cos{\theta} d\theta = \int \frac{1}{(\sin{\theta}+1)\cos{\theta}} \cos{\theta} d\theta = \int \frac{1}{\sin{\theta}+1} d\theta$$

$$\int \frac{1}{1+\sin{\theta}} d\theta = \int \frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin^2{\theta}} d\theta = \int \frac{1-\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}} d\theta = \int (\sec^2{\theta} - \sec{\theta}\tan{\theta}) d\theta = \tan{\theta} - \sec{\theta} + C$$

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$、$\sec{\theta} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$$\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + C = \frac{x-1}{\sqrt{1-x^2}} + C = -\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + C$$

(3) $\int \frac{\sin{x}}{\cos^3{x}} dx$

$t = \cos{x}$ と置換します。すると、$dt = -\sin{x} dx$ となります。

$$\int \frac{\sin{x}}{\cos^3{x}} dx = \int \frac{-1}{t^3} dt = \int -t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C = \frac{1}{2\cos^2{x}} + C$$

(4) $\int \frac{1}{1-\cos{x}} dx$

半角の公式 $1 - \cos{x} = 2\sin^2{\frac{x}{2}}$ を使います。

$$\int \frac{1}{1-\cos{x}} dx = \int \frac{1}{2\sin^2{\frac{x}{2}}} dx = \frac{1}{2} \int \csc^2{\frac{x}{2}} dx$$

$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$、$dx = 2 du$ となります。

$$\frac{1}{2} \int \csc^2{u} 2 du = \int \csc^2{u} du = -\cot{u} + C = -\cot{\frac{x}{2}} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx = 2\arctan{\sqrt{x-1}} + C$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^2}} dx = -\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + C$

(3) $\int \frac{\sin{x}}{\cos^3{x}} dx = \frac{1}{2\cos^2{x}} + C$

(4) $\int \frac{1}{1-\cos{x}} dx = -\cot{\frac{x}{2}} + C$