数直線上を運動する点Pがあり、時刻$t$における速度$v$が $v=e^t \sin t$ で与えられています。点Pは時刻0に原点から出発します。以下の問いに答えます。 (1) 出発してから$t$秒後のPの位置を求めよ。 (2) 出発してから$2\pi$秒の間にPの動く範囲を求めよ。 (3) 出発してから$2\pi$秒の間にPの動いた道のりを求めよ。

## 問題4

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pがあり、時刻$t$における速度$v$が $v=e^t \sin t$ で与えられています。点Pは時刻0に原点から出発します。以下の問いに答えます。

(1) 出発してから$t$秒後のPの位置を求めよ。

(2) 出発してから$2\pi$秒の間にPの動く範囲を求めよ。

(3) 出発してから$2\pi$秒の間にPの動いた道のりを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 時刻$t$における点Pの位置$x(t)$は、速度$v(t)$を積分することで求められます。積分定数は初期条件$x(0) = 0$を用いて決定します。

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^t \sin t dt$

部分積分を2回行うことで、この積分を計算できます。

$I = \int e^t \sin t dt$

$I = e^t \sin t - \int e^t \cos t dt$

$I = e^t \sin t - (e^t \cos t - \int -e^t \sin t dt)$

$I = e^t \sin t - e^t \cos t - \int e^t \sin t dt$

$I = e^t \sin t - e^t \cos t - I$

$2I = e^t(\sin t - \cos t)$

$I = \frac{1}{2} e^t(\sin t - \cos t) + C$

初期条件$x(0) = 0$より、

$0 = \frac{1}{2}e^0(\sin 0 - \cos 0) + C = \frac{1}{2}(0 - 1) + C$

$C = \frac{1}{2}$

したがって、

$x(t) = \frac{1}{2} e^t (\sin t - \cos t) + \frac{1}{2}$

(2) 点Pの動く範囲を求めるために、$0 \le t \le 2\pi$ における$x(t)$の最大値と最小値を求めます。

まず、$x(t)$の導関数を計算します。これは$v(t)$に等しく、$v(t) = e^t \sin t$です。

$v(t) = e^t \sin t = 0$となる$t$を求めます。$e^t > 0$なので、$\sin t = 0$となる$t$を探します。

$t = 0, \pi, 2\pi$ です。

$x(0) = \frac{1}{2} e^0 (\sin 0 - \cos 0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (0 - 1) + \frac{1}{2} = 0$

$x(\pi) = \frac{1}{2} e^\pi (\sin \pi - \cos \pi) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^\pi (0 - (-1)) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^\pi + \frac{1}{2}$

$x(2\pi) = \frac{1}{2} e^{2\pi} (\sin 2\pi - \cos 2\pi) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{2\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{2\pi} + \frac{1}{2}$

したがって、動く範囲は $\left[ -\frac{1}{2} e^{2\pi} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} e^\pi + \frac{1}{2} \right]$ です。

(3) 点Pの動いた道のりは、$0 \le t \le 2\pi$ における$|v(t)|$の積分で求められます。

$s = \int_0^{2\pi} |e^t \sin t| dt = \int_0^{2\pi} e^t |\sin t| dt$

$s = \int_0^{\pi} e^t \sin t dt + \int_{\pi}^{2\pi} e^t (-\sin t) dt$

$s = \left[ \frac{1}{2}e^t(\sin t - \cos t) \right]_0^{\pi} - \left[ \frac{1}{2}e^t(\sin t - \cos t) \right]_{\pi}^{2\pi}$

$s = \frac{1}{2}e^{\pi}(0 - (-1)) - \frac{1}{2}(0 - (-1)) - \left( \frac{1}{2}e^{2\pi}(0 - 1) - \frac{1}{2}e^{\pi}(0 - (-1)) \right)$

$s = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{2\pi} + \frac{1}{2}e^{\pi}$

$s = \frac{1}{2}e^{2\pi} + e^{\pi} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $t$秒後のPの位置: $x(t) = \frac{1}{2} e^t (\sin t - \cos t) + \frac{1}{2}$

(2) Pの動く範囲: $\left[ -\frac{1}{2} e^{2\pi} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} e^\pi + \frac{1}{2} \right]$

(3) Pの動いた道のり: $\frac{1}{2}e^{2\pi} + e^{\pi} + \frac{1}{2}$