与えられた関数について、第2次導関数を利用して極値を求める問題です。 (1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ (2) $f(x) = x^2e^{-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、第2次導関数を利用して極値を求める問題です。

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$

(2) $f(x) = x^2e^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$

まず、第1次導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = -1, 3$

次に、第2次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = 6x - 6$

$f''(-1)$ と $f''(3)$ の符号を調べます。

$f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0$

$f''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0$

$f''(-1) < 0$ なので、$x = -1$ で極大値をとります。極大値は $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$ です。

$f''(3) > 0$ なので、$x = 3$ で極小値をとります。極小値は $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$ です。

(2) $f(x) = x^2e^{-x}$

まず、第1次導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = (2x - x^2)e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x} > 0$ なので、$x(2 - x) = 0$ より $x = 0, 2$ です。

次に、第2次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} - (2x - x^2)e^{-x} = (2 - 4x + x^2)e^{-x}$

$f''(0)$ と $f''(2)$ の符号を調べます。

$f''(0) = (2 - 4(0) + (0)^2)e^{-0} = 2 > 0$

$f''(2) = (2 - 4(2) + (2)^2)e^{-2} = (2 - 8 + 4)e^{-2} = -2e^{-2} < 0$

$f''(0) > 0$ なので、$x = 0$ で極小値をとります。極小値は $f(0) = (0)^2e^{-0} = 0$ です。

$f''(2) < 0$ なので、$x = 2$ で極大値をとります。極大値は $f(2) = (2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$ で極大値 $6$ をとる。

$x = 3$ で極小値 $-26$ をとる。

(2) $x = 0$ で極小値 $0$ をとる。

$x = 2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$ をとる。