与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。問題は二つあります。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \dots$ (2) $1, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \dots$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。問題は二つあります。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \dots$

(2) $1, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一般項を求めます。第 $k$ 項は $\frac{1}{k(k+2)}$ と表されます。部分分数分解を用いて、この項を二つの分数の差に分解します。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $k(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+2) + Bk$

$k = 0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -2$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{n+2+n+1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3(n+1)(n+2) - 4(2n+3)}{2(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{3(n^2+3n+2)-4n-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(2)

まず、一般項を求めます。第 $k$ 項は $\frac{1}{1+2+3+\dots+k}$ と表されます。分母の和は $\frac{k(k+1)}{2}$ となるので、第 $k$ 項は $\frac{2}{k(k+1)}$ です。ただし、初項は $1$ なので、$k=1$ からではなく、$a_1=1$と別に考えます。

$\frac{2}{k(k+1)} = 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$S_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = 1+ \sum_{k=2}^{n} 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$= 1 + 2 \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right]$

$= 1 + 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 + 1 - \frac{2}{n+1} = 2 - \frac{2}{n+1} = \frac{2(n+1)-2}{n+1} = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) $\frac{2n}{n+1}$