## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は、置換積分を用いて不定積分を計算することです。具体的には、積分$\int \frac{x+2}{\sqrt{2x-1}} dx$を、置換$2x-1 = t$を用いて計算します。

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2. 解き方の手順

1. 置換 $2x-1 = t$ より、$x = \frac{t+1}{2}$ となります。

2. 両辺を微分すると、$2dx = dt$、つまり$dx = \frac{1}{2}dt$となります。

3. 積分を $t$ の関数として書き換えます。

$\int \frac{x+2}{\sqrt{2x-1}} dx = \int \frac{\frac{t+1}{2}+2}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} dt = \int \frac{\frac{t+1+4}{2}}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{4} \int \frac{t+5}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4} \int (t^{1/2} + 5t^{-1/2}) dt$

4. 積分を計算します。

$\frac{1}{4} \int (t^{1/2} + 5t^{-1/2}) dt = \frac{1}{4} \left(\frac{t^{3/2}}{3/2} + 5 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2}\right) + C = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{3}t^{3/2} + 10t^{1/2}\right) + C = \frac{1}{6}t^{3/2} + \frac{5}{2}t^{1/2} + C$

5. $t = 2x-1$ を代入して、$x$ の関数に戻します。

$\frac{1}{6}(2x-1)^{3/2} + \frac{5}{2}(2x-1)^{1/2} + C = \frac{1}{6}(2x-1)\sqrt{2x-1} + \frac{15}{6}\sqrt{2x-1} + C = \frac{1}{6}(2x-1+15)\sqrt{2x-1} + C = \frac{1}{6}(2x+14)\sqrt{2x-1} + C = \frac{1}{3}(x+7)\sqrt{2x-1} + C$

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(x+7)\sqrt{2x-1} + C$