関数 $f(x, y) = \frac{x^2}{4} + y^2$ を偏微分し、点 $(2, 1)$ における接平面 $z = Kx + Ly + M$ を求め、その係数 $K$, $L$, $M$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{x^2}{4} + y^2$ を偏微分し、点 $(2, 1)$ における接平面 $z = Kx + Ly + M$ を求め、その係数 $K$, $L$, $M$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $x$ および $y$ で偏微分する。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x^2}{4} + y^2) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x^2}{4} + y^2) = 2y$

次に、点 $(2, 1)$ における偏微分係数を計算する。

$f_x(2, 1) = \frac{2}{2} = 1$

$f_y(2, 1) = 2(1) = 2$

点 $(2, 1)$ における $z$ の値を計算する。

$f(2, 1) = \frac{2^2}{4} + 1^2 = \frac{4}{4} + 1 = 1 + 1 = 2$

接平面の方程式は次の式で与えられる。

$z = f(2, 1) + f_x(2, 1)(x - 2) + f_y(2, 1)(y - 1)$

値を代入すると、

$z = 2 + 1(x - 2) + 2(y - 1) = 2 + x - 2 + 2y - 2 = x + 2y - 2$

したがって、$z = x + 2y - 2$ である。

$z = Kx + Ly + M$ と比較して、$K = 1$, $L = 2$, $M = -2$ である。

3. 最終的な答え

$f_x(x, y) = \frac{x}{2}$

$f_y(x, y) = 2y$

$K = 1$

$L = 2$

$M = -2$