関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{|x|} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x^3}{|x|} & (x \neq 0) \\

a & (x = 0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

$f(0) = a$ であるため、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を求める必要があります。$x \neq 0$ のとき、 $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$ です。

絶対値 $|x|$ の定義より、$x > 0$ のとき $|x| = x$ 、$x < 0$ のとき $|x| = -x$ となります。

まず、$x \to 0^+$ (右側極限)を考えます。このとき、$x > 0$ なので $|x| = x$ となり、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$

次に、$x \to 0^-$ (左側極限)を考えます。このとき、$x < 0$ なので $|x| = -x$ となり、

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^3}{-x} = \lim_{x \to 0^-} -x^2 = 0$

右側極限と左側極限が一致するので、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ となります。

関数が連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があります。したがって、$0 = a$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 0$