関数 $y = \sin(x^2 + x)$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(x^2 + x)$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（連鎖律）を使用します。連鎖律は次のように表されます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x^2 + x$ とおくと、$y = \sin(u)$ となります。

まず、$y = \sin(u)$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = \cos(u)$

次に、$u = x^2 + x$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

最後に、連鎖律を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot (2x + 1)$

$u$ を $x^2 + x$ に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = \cos(x^2 + x) \cdot (2x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (2x + 1)\cos(x^2 + x)$