次の二つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (2) $\int (2x+3)^3 dx$

1. 問題の内容

次の二つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

$u = 2x + 1$ と置換すると、$du = 2 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$ なので、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

$u = 2x + 3$ と置換すると、$du = 2 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分は次のようになります。

$\int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du$

$\int u^3 du = \frac{1}{4}u^4 + C$ なので、

$\frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{8} u^4 + C = \frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln|2x+1| + C$

(2) $\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$