極座標で表された螺旋 $r = a\theta$ ($a > 0, 0 \leq \theta \leq 2\pi$) と始線で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

極座標で表された螺旋 $r = a\theta$ ($a > 0, 0 \leq \theta \leq 2\pi$) と始線で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

極座標における面積は、微小扇形の面積を積分することで求められます。微小扇形の面積は $dS = \frac{1}{2} r^2 d\theta$ で与えられます。したがって、螺旋と始線で囲まれる部分の面積 $S$ は、次の積分で計算できます。

$$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} r^2 d\theta$$

与えられた螺旋の式 $r = a\theta$ を代入すると、

$$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (a\theta)^2 d\theta$$

$$S = \frac{1}{2} a^2 \int_{0}^{2\pi} \theta^2 d\theta$$

$\theta^2$ の積分は $\frac{1}{3}\theta^3$ なので、

$$S = \frac{1}{2} a^2 \left[ \frac{1}{3} \theta^3 \right]_{0}^{2\pi}$$

$$S = \frac{1}{2} a^2 \left( \frac{1}{3} (2\pi)^3 - \frac{1}{3} (0)^3 \right)$$

$$S = \frac{1}{2} a^2 \left( \frac{8\pi^3}{3} \right)$$

$$S = \frac{4}{3} a^2 \pi^3$$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3} a^2 \pi^3$