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与えられた関数 $y = x^3 + 3x^2 + 6x - 3$ の導関数 $y'$ を、導関数の定義に従って求める。

解析学導関数微分極限多項式
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた関数 y=x3+3x2+6x−3y = x^3 + 3x^2 + 6x - 3 の導関数 y′y' を、導関数の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、
y' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
である。ここで、f(x)=x3+3x2+6x−3f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 3 である。
まず、f(x+h)f(x+h) を求める。
\begin{align*}
f(x+h) &= (x+h)^3 + 3(x+h)^2 + 6(x+h) - 3 \\
&= (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 3(x^2 + 2xh + h^2) + 6(x+h) - 3 \\
&= x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 6x + 6h - 3
\end{align*}
次に、f(x+h)−f(x)f(x+h) - f(x) を計算する。
\begin{align*}
f(x+h) - f(x) &= (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 6x + 6h - 3) - (x^3 + 3x^2 + 6x - 3) \\
&= 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 6xh + 3h^2 + 6h
\end{align*}
次に、f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} を計算する。
\begin{align*}
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 6xh + 3h^2 + 6h}{h} \\
&= 3x^2 + 3xh + h^2 + 6x + 3h + 6
\end{align*}
最後に、lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} を計算する。
\begin{align*}
y' &= \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 + 6x + 3h + 6) \\
&= 3x^2 + 3x(0) + (0)^2 + 6x + 3(0) + 6 \\
&= 3x^2 + 6x + 6
\end{align*}

3. 最終的な答え

y′=3x2+6x+6y' = 3x^2 + 6x + 6

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