サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($a > 0$, $0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($a > 0$, $0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

求める面積を $S$ とする。$S$ は以下の積分で表される。

$S = \int_0^{2\pi a} y \, dx$

ここで、$x = a(t - \sin t)$ より、$dx = a(1 - \cos t) \, dt$ となる。また、$x$ が $0$ から $2\pi a$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $2\pi$ まで変化する。したがって、積分は

$S = \int_0^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot a(1 - \cos t) \, dt = a^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt$

となる。被積分関数を展開すると、

$(1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t$

さらに、$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ であるから、

$S = a^2 \int_0^{2\pi} \left( 1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2} \right) \, dt$

$S = a^2 \int_0^{2\pi} \left( \frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2} \cos 2t \right) \, dt$

積分を実行すると、

$S = a^2 \left[ \frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4} \sin 2t \right]_0^{2\pi}$

$S = a^2 \left[ \left( \frac{3}{2}(2\pi) - 2\sin(2\pi) + \frac{1}{4} \sin(4\pi) \right) - \left( \frac{3}{2}(0) - 2\sin(0) + \frac{1}{4} \sin(0) \right) \right]$

$S = a^2 \left[ 3\pi - 0 + 0 - (0 - 0 + 0) \right] = 3\pi a^2$

3. 最終的な答え

$3\pi a^2$