2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求める問題です。ただし、積分範囲は$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求める問題です。ただし、積分範囲は$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$です。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、2つの関数の2乗の差を積分することで求められます。$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$の範囲では$\sin x \ge \cos x$なので、体積$V$は次の式で与えられます。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin^2 x - \cos^2 x) dx$

ここで、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$の関係を使うと、

$\sin^2 x - \cos^2 x = - \cos 2x$

となるので、体積$V$の式は次のようになります。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (- \cos 2x) dx$

積分を実行します。

$V = - \pi \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$V = - \frac{\pi}{2} \left( \sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \right)$

$\sin \frac{5\pi}{2} = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$V = - \frac{\pi}{2} (1 - 1)$

$V = - \frac{\pi}{2} (0)$

$V = 0$

積分範囲を間違えました。

$\sin x \ge \cos x$は$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$の範囲で成り立ちます。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin^2 x - \cos^2 x) dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} - \cos 2x dx$

$V = - \pi [\frac{1}{2}\sin 2x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = - \frac{\pi}{2} [\sin 2x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$V = - \frac{\pi}{2} (\sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = - \frac{\pi}{2} (1-1) = 0$

計算ミスがあったようです。符号が反転しています。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin^2 x - \cos^2 x) dx$

$V = - \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \cos 2x dx$

$V = - \pi [\frac{1}{2} \sin 2x ]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$V = - \frac{\pi}{2} (\sin(\frac{5\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) = - \frac{\pi}{2} (1 - 1) = 0$

もう一度計算してみます。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$より

$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$

$V = \pi \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin^2 x - \cos^2 x) dx = \pi \int_{\pi/4}^{5\pi/4} -\cos 2x dx$

$= - \pi [\frac{1}{2} \sin 2x]_{\pi/4}^{5\pi/4} = - \frac{\pi}{2} [\sin (5\pi/2) - \sin (\pi/2)] = - \frac{\pi}{2} [1-1] = 0$

まだ間違っているような気がします。絶対値が必要かもしれません。

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} | \sin^2 x - \cos^2 x| dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |-\cos 2x | dx$

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} | \cos 2x | dx$

$2x$の値が $\frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2}$ の時に$\cos 2x = 0$となるので、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{3\pi}{4}$です。$x = \frac{5\pi}{4}$のとき、$2x = \frac{5\pi}{2}$なので範囲は、 $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$なので、$2x$は$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$のときに0になるため、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} | \cos 2x | dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |\cos 2x | dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} - \cos 2x dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \cos 2x dx$

$- \frac{1}{2} [\sin 2x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} + \frac{1}{2} [\sin 2x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$- \frac{1}{2} (\sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2} (\sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{3\pi}{2}) = - \frac{1}{2} (-1-1) + \frac{1}{2} (1 -(-1)) = - \frac{1}{2} (-2) + \frac{1}{2} (2) = 1 + 1 = 2$

したがって、$V = \pi \cdot 2 = 2 \pi$

3. 最終的な答え

$V = 2\pi$