関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ が与えられています。 (1) $y = f(x)$ のグラフの概形を描く。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線と法線の方程式を求める。 (3) 点 $(a, 0)$ から $y = f(x)$ へ 3 本の接線が引けるような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ が与えられています。

(1) $y = f(x)$ のグラフの概形を描く。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線と法線の方程式を求める。

(3) 点 $(a, 0)$ から $y = f(x)$ へ 3 本の接線が引けるような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフの概形

* まず、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f(x) = x^2 e^{-x}$ なので、積の微分法より

$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(2-x)e^{-x} = 0$ より、$x = 0, 2$

* $f(x)$ の増減表を作ります。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 0 | ↑ | $\frac{4}{e^2}$ | ↓ |

* 次に、2階導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = (2x-x^2)e^{-x}$ なので、積の微分法より

$f''(x) = (2-2x)e^{-x} + (2x-x^2)(-e^{-x}) = e^{-x}(2-2x-2x+x^2) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$

* $f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 - 4x + 2 = 0$ より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

* $f(x)$ の凹凸を調べます。

* $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ より、$x \to \infty$ で $x$ 軸に漸近します。

* グラフを描きます。

(2) 接線と法線の方程式

* 点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$f(t) = t^2 e^{-t}$、 $f'(t) = (2t - t^2) e^{-t}$ を代入して

$y - t^2 e^{-t} = (2t - t^2) e^{-t} (x - t)$

$y = (2t - t^2) e^{-t} x + t^2 e^{-t} - t (2t - t^2) e^{-t}$

$y = (2t - t^2) e^{-t} x + (t^3 - t^2) e^{-t}$

* 点 $(t, f(t))$ における法線の方程式は、接線の傾きと直交するので、傾きは $-\frac{1}{f'(t)}$

ただし、$f'(t) \neq 0$。

$y - f(t) = -\frac{1}{f'(t)} (x - t)$

$y - t^2 e^{-t} = -\frac{1}{(2t - t^2) e^{-t}} (x - t)$

$y = -\frac{e^t}{2t - t^2} (x - t) + t^2 e^{-t}$

(3) 3本の接線が引ける条件

* 点 $(a, 0)$ から $y = f(x)$ へ接線を引くとすると、接線の方程式は $(t, f(t))$ において

$y = (2t - t^2) e^{-t} x + (t^3 - t^2) e^{-t}$

* この接線が $(a, 0)$ を通るので

$0 = (2t - t^2) e^{-t} a + (t^3 - t^2) e^{-t}$

$0 = (2t - t^2) a + (t^3 - t^2)$

$0 = t(2 - t) a + t^2 (t - 1)$

$t \neq 0$ ならば $(2-t)a + t(t-1) = 0$。

$a = \frac{t(1-t)}{2-t}$。

$g(t) = \frac{t(1-t)}{2-t}$ とおくと、$g'(t) = \frac{(1-2t)(2-t) + t(1-t)}{(2-t)^2} = \frac{2 - 5t + 2t^2 + t - t^2}{(2-t)^2} = \frac{t^2 - 4t + 2}{(2-t)^2}$。

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 2 \pm \sqrt{2}$ のとき。

$t = 0$ のときは $a = 0$

* $t$ の方程式 $a = \frac{t(1-t)}{2-t}$ が3つの異なる実数解を持つ $a$ の範囲を求める。

3. 最終的な答え

(1) グラフの概形は省略します。

(2) 接線: $y = (2t - t^2) e^{-t} x + (t^3 - t^2) e^{-t}$

法線: $y = -\frac{e^t}{2t - t^2} (x - t) + t^2 e^{-t}$

(3) $0 < a < \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$