点Qの座標が $x = 3\cos t + \cos 3t$, $y = 3\sin t - \sin 3t$ で与えられている。$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $t$ が変化するとき、点Qが描く曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

点Qの座標が $x = 3\cos t + \cos 3t$, $y = 3\sin t - \sin 3t$ で与えられている。$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $t$ が変化するとき、点Qが描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次の式で与えられる。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$x(t)$ と $y(t)$ を $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t - 3\sin 3t$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t - 3\cos 3t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2$ と $(\frac{dy}{dt})^2$ を計算する。

$(\frac{dx}{dt})^2 = (-3\sin t - 3\sin 3t)^2 = 9\sin^2 t + 18\sin t \sin 3t + 9\sin^2 3t$

$(\frac{dy}{dt})^2 = (3\cos t - 3\cos 3t)^2 = 9\cos^2 t - 18\cos t \cos 3t + 9\cos^2 3t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 9(\sin^2 3t + \cos^2 3t) + 18(\sin t \sin 3t - \cos t \cos 3t)$

三角関数の性質 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ と $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いると、

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 9 + 9 - 18\cos(t+3t) = 18 - 18\cos 4t = 18(1 - \cos 4t)$

ここで、倍角の公式 $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ より $1 - \cos 4t = 2\sin^2 2t$ なので、

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 18(2\sin^2 2t) = 36\sin^2 2t$

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{36\sin^2 2t} = 6|\sin 2t|$

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$0 \le 2t \le \pi$ であり、この範囲で $\sin 2t \ge 0$ なので、 $|\sin 2t| = \sin 2t$

したがって、$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin 2t \, dt = 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \, dt = 6 \left[ -\frac{1}{2} \cos 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3[\cos 2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3(\cos \pi - \cos 0) = -3(-1 - 1) = -3(-2) = 6$

3. 最終的な答え

6