与えられた関数 $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) を対数微分法を用いて微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) を対数微分法を用いて微分する問題です。

2. 解き方の手順

対数微分法を用いる手順は以下の通りです。

ステップ1: 両辺の自然対数をとる。

$y = (\sin x)^x$ の両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln ((\sin x)^x) = x \ln (\sin x)$

ステップ2: 両辺を $x$ で微分する。

$\ln y = x \ln (\sin x)$ の両辺を $x$ で微分します。

左辺は $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。

右辺は積の微分法を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} (x \ln (\sin x)) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$

$= 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$

$= \ln(\sin x) + x \cot x$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\sin x) + x \cot x$

ステップ3: $\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\sin x) + x \cot x)$

$y = (\sin x)^x$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$